C'est vieux... mais j'ai vécu la même douleur et voici ma solution.
Comme vous pouvez le voir, le journal est une alerte, pas une erreur bloquante :
nginx: [alert] could not open error log file: open() "/var/log/nginx/error.log" failed (13: Permission denied)
Cela ne devrait pas être un problème :) Nginx aime juste vérifier ce fichier au démarrage...
Utilisez simplement -p option. Quelque chose comme ça pour lancer Nginx localement fonctionne pour moi :
nginx -c /etc/nginx/nginx.conf -g 'daemon off;' -p /home/Foo/log/nginx
Vous devrez peut-être le déclencher avec sudo
sudo nginx -t