Je viens d'expérimenter cela moi-même. Il semble que Firefox ne vous demandera que si vous avez déjà importé un certificat signé par le même émetteur qui a signé le certificat SSL du site.
Demandez donc à votre autorité de certification de signer à la fois les certificats serveur et client, puis importez le certificat client dans Firefox (via la fenêtre Préférences). La prochaine fois que vous visiterez le site, Firefox remarquera qu'il a un certificat client signé par la même autorité de certification que le certificat SSL du serveur, il vous demandera donc de l'utiliser ou non.